Ensembles finis Exemples

$x^{2} - y^{2} = 1$

Étape 1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = 1 - x^{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = 1 - x^{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Étape 2.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Étape 2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

Étape 2.3.1.3

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ .

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Étape 4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

Étape 4.1.2

Remettez dans l’ordre $- 1^{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6

Définissez le radicande dans $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 7.2

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 7.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 7.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Étape 7.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 7.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

Étape 7.6.1.3

Le côté gauche $15$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

Étape 7.6.2.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 7.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

Étape 7.6.3.3

Le côté gauche $15$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 7.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 1$ ou $x \geq 1$

Étape 8

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 1, x \geq 1}$

Étape 9